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整数は結構面白い

整数の問題は中学入試の算数ではよく出題されます。高校入試では私立高校で時々難しい整数問題が出ることがありますが、公立高校では最大公約数、最小公倍数の比較的常識的な問題が出題されるくらいでしょうか。しかし、実は整数はいろいろな性質もあり、結構面白い問題も多いのです。今月は整数の性質に関する問題をすこしみていきましょう。

４桁の数字を適当にひとつ作ります。たとえば、７８１５という数字。これを各桁の数字が大きい順にならべた数字から数字を小さい順に並べた数字を引きます。
８７５１－１５７８＝７１７３。これをくり返す。つぎは、７７３１－１３７７＝６３５４。これも同じ操作をすると。６５４３－３４５６＝３０８７。再度これを繰り返します。８７３０－０３７８＝８３５２。また繰り返します。８５３２－２３５８＝６１７４。
この６１７４も同じ操作をすると。７６４１－１４６７＝６１７４。「アレッ」そうなんです。６１７４はこの操作をすると６１７４になってしまいます。したがって、計算結果が、「６１７４」になったらここがゴールです。

「へーそうですか」ですが、実は４桁のすべての数字は、この操作を繰り返して計算するとこの「６１７４」にゴールすることが分かっています。「ホントかいな」と思う人はやってみるといいですね。

たとえば、３２５６。６５３２－２３５６＝４１７６、並べ替えると６１７４。なんと１回でなってしまった。

他に、７０００なら、７０００－０００７＝６９９３。９９６３－３６９９＝６２６４。６６４２－２４６６＝４１７６。６１７４になりましたね。

もちろん７７７７とか２２２２のように４桁全部が同じ数はダメですよ。差が０になってしまいますからね。

しかし、不思議ですね。４桁の数字がすべて同じ数にゴールするというのは、整数は美しいです。この性質は２０世紀インドの数学者Ｄ．Ｒ．カプレカーが発見しました。そのため、カプレカー数ともいいます。もちろん、６１７４にゴールする証明もされています。

そうすると、他の桁ではどうなのかなと誰もが思います。数学ではこういう発想を一般化といいますが、興味が出てきますね。

他に次のような問題。２桁の数字があります。たとえば、４３。これを１の位と１０の位の数字を逆にして３４をつくります。そして２数の和を取る。４３＋３４＝７７。左右対称になっていますね。例えば、６７。６７＋７６＝１４３。１４３＋３４１＝４８４。これも左右対称になっています。他に５９でやってみる。５９＋９５＝１５４。１５４＋４５１＝６０５。６０５＋５０６＝１１１１。やっぱり左右対称になってる。

２桁の数はこの操作をして計算すると最後は必ず左右対象になるのかな。高校生ならパソコンのリテラシイーが少しあればプログラムを組んで試してみられそうですね。

整数はこの他に素数の問題を含めすごく面白い性質がいろいろあります。ゲーム感覚で考えると結構楽しいです。

【塾長コラム】