学習塾ブログ / 整数は面白いⅡ

整数は面白いⅡ

先月に引き続き、整数について。

「ゴールドバッハの予想」という、未だ証明されていない有名な問題があります。

２より大きな偶数は、すべて２つの素数の和として表すことができる

４＝２＋２、６＝３＋３、８＝３＋５、１０＝３＋７＝５＋５、１２＝５＋７、・・
１６＝３＋１３＝５＋１１、・・・２０＝３＋１７＝７＋１３、・・・

確かに２素数の和になっている。面白いですね。これはコンピュータなどで凄く大きな偶数まで確かめられています。また、周辺の定理はかなり証明されていますが、数学的なきちんとした証明はなされていません。

中学生は奇数＋奇数＝偶数を知っています。２を除き素数はすべて奇数だから、こういうことはあるかもしれないねとも思うし、１億桁１兆桁という途轍もなく大きな偶数が実際こういう具合に綺麗に２素数の和に分解できるなんてもの凄く不思議ではあります。

この予想がゴールドバッハの予想と呼ばれているのは、１８世紀ドイツの数学者ゴールドバッハが、形は少し違うのですが数学的には同値の予想をオイラーへの書簡の中でふれたことによっています。大変シンプルで分かりやすい予想にもかかわらず、現在にいたっても数学的には証明されていません。証明というのはこの予想は間違いであるという証明でもいいわけです。この予想は間違っているという事を示す反証例がひとつあげられてもいいと。

整数の問題は他にもいろいろあります。例えば、正の整数の分割という問題。

ある整数をいくつかの整数の和で表します。
たとえば、３ならば、
１＋１＋１＝３、１＋２＝３、２＋１＝３の３通りがあります。
また、４ならば、
１＋１＋１＋１＝４
１＋１＋２＝４、１＋２＋１＝４、２＋１＋１＝４、
１＋３＝４、３＋１＝４、
２＋２＝４
の７通りがあります。

では同じような方法で、８をいくつかの整数の和で表すとき、全部で何通りの表し方があるでしょうか。

これは自分で考えてみてください。

【塾長コラム】