学習塾ブログ / 数学の問題

数学の問題

今月は数学の問題を一問出しましょう。小学生でも算数的センスのいい生徒は解けるでしょう。高校生でも苦戦する人は多いと思います。解答を見る前に必死に考えましょう。

《問題》

ある整数をいくつかの整数の和で表します。
たとえば、３ならば、
１＋１＋１＝３、１＋２＝３、２＋１＝３の３通りがあります。
また、４ならば、
１＋１＋１＋１＝４
１＋１＋２＝４、１＋２＋１＝４、２＋１＋１＝４、
１＋３＝４、３＋１＝４、
２＋２＝４
の７通りがあります。

では同じような方法で、１０をいくつかの整数の和で表すとき、全部で
何通りの表し方があるか。

解答は下にあります。

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【解答】

とてもいい問題です。まさかこれをひとつひとつ書き出して解こうとする人はいませんね。かなりの数になりますから。そういう方法では１００を自然数の和に分解するという問題になったらお手上げです。これは以下の方法で解くととても簡単に解けます。
下の図を見てください。この問題は１０コのおはじきを一列においてその間に仕切を入れる入れ方が何通りあるかという問題と同じであることが分かります。下の図の場合は、２＋５＋３＝１０のケースですね。
この考えでいくと、１０コのおはじきには９カ所仕切をいれる場所があります。そして、そこに仕切を入れるか入れないか２通りあるから、２の９乗となりそうですが、そうはなりません。なぜならこれには９カ所全部の箇所に仕切をいれない場合、すなわちこの場合は「１０」そのものも入りますからこの１通りを引かなければなりません。
したがって２の９乗が５１２ですから、５１２－１＝５１１となります。
正解は５１１通り。